사이클로이드를 아는가? 미적분을 바꾼 수학 전쟁의 시작

한 귀족이 당대 최고 수학자들에게 보낸 수수께끼 같은 편지. 그 안에는 단순한 수학 문제가 아닌, 세기의 대결을 불러올 불씨가 숨어 있었습니다. 이 편지는 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠라는 두 천재를 수학사 최대의 경쟁자로 만들었고, 그 중심에는 사이클로이드와 미적분이 있었습니다.

베르누이의 편지, 도전장을 던지다

1696년, 스위스의 수학자 요한 베르누이는 한 편의 편지를 씁니다. 수신자는 당대 유럽의 이름난 수학자들. 편지에는 이런 문장이 적혀 있었습니다.

"이 문제를 통해 우리는 어린 아이와 어른을 가려내게 될 것이다. 정답을 맞히면 영원한 명성을 얻을 것이다. 마감 기한은 6개월이 주어진다."

문제는 단순했습니다. 두 지점 a와 b를 잇는 최단 시간 경로는 무엇인가? 물체가 중력만으로 내려올 때 가장 빠르게 도달하는 곡선을 찾는 것이죠. 단, 답이 직선이라면 애초에 문제를 내지도 않았을 것입니다.

이 문제는 바로 브라키스토크론(Brachistochrone) 문제로, 그 해결에는 당시 새롭게 떠오르고 있던 미적분학의 개념이 필수적이었습니다.

정답은 직선이 아니다 – 사이클로이드 곡선

두 지점을 잇는 가장 빠른 경로는 무엇일까요? 많은 이들이 직선을 떠올리지만, 실제 정답은 사이클로이드(Cycloid) 곡선입니다.

사이클로이드는 자전거 바퀴의 테두리 위 한 점이 지면을 따라 구를 때 그리는 곡선입니다. 베르누이는 이 문제를 통해 수학자들이 미적분과 변분법을 이해하고 있는지를 시험하고자 했습니다.

사이클로이드 곡선 - 직선보다 빠르게 도달한다

• 직선 경로: 가장 짧지만 속도가 천천히 붙는다
• 사이클로이드: 곡선이 길더라도 중력 가속을 최적으로 활용

미적분의 탄생과 대결: 라이프니츠 vs 뉴턴

베르누이의 의도는 분명했습니다. 이 문제는 단순한 퍼즐이 아닌, 누가 진정한 미적분의 주인인가를 가리는 시험이었습니다. 그리고 이 도전을 받은 인물이 있었습니다. 바로 영국의 과학자 아이작 뉴턴.

독일의 철학자이자 수학자 라이프니츠는 베르누이의 편지를 받고 첫 번째로 정답을 보냈습니다. 그러나 베르누이는 진짜 타깃이 영국에 있다고 생각했고, 문제의 마감 기한을 연장했습니다.

뉴턴은 당시 영국 조폐국의 국장으로 바쁜 와중에도, 퇴근 후 몇 시간 만에 답안을 완성했습니다. 그리고 베르누이의 의도를 단번에 간파하며 이렇게 말했습니다.

"사자는 그 발톱만 보아도 알 수 있다."

결국 이 문제는 라이프니츠와 뉴턴의 미적분 우선권 논쟁을 촉발하게 되었고, 이후 수십 년간 학문적 갈등을 불러옵니다.

영광과 고독, 그리고 오늘날의 미적분

뉴턴은 웨스트민스터 사원에 안장되며 영국 최고의 과학자로 기억되고 있습니다. 반면 라이프니츠는 홀로 쓸쓸히 세상을 떠났지만, 그의 미적분 기호는 오늘날까지도 사용되고 있습니다.

dx, ∫ 기호로 대표되는 라이프니츠의 미적분 체계는 전 세계에서 표준으로 채택되며 살아남았습니다. 결과적으로 우리는 두 사람이 동시에 미적분을 발견했다고 인정합니다.

이 대결은 단순한 수학 싸움을 넘어, 지식의 탄생과 진리의 추구가 얼마나 치열한지를 보여주는 역사적 장면이 되었습니다.

정리하자면:

• 베르누이의 문제는 사이클로이드 곡선으로 해결됨
• 정답은 미적분의 개념을 알고 있어야 풀 수 있음
• 뉴턴과 라이프니츠는 각각 독립적으로 미적분을 발견
• 미적분은 현대 과학과 공학, 경제학에 이르기까지 핵심 역할을 함

과연 다음 세기의 '브라키스토크론 문제'는 무엇일까요?
그리고, 그 질문에 답하는 새로운 수학자는 누가 될까요?